1. 이진 탐색의 기본 원리
1.1 단조성(Monotonicity)의 이해
- 이진 탐색의 핵심은 단조성을 활용하는 것입니다.
- 단조성이란 어떤 조건의 참/거짓이 한 번만 바뀌는 성질을 말합니다.
1.1.1 일반적인 이진 탐색에서의 단조성
인데스: 0 1 2 3 4 5
배열: 1, 3, 5, 7, 9, 11
찾으려는 값: 7
각 위치에서 조건(arr[i] ≤ 7):
인덱스: 0 1 2 3 4 5
결과: F F F T T T
1.1.2 파라메트릭 서치에서의 단조성
랜선 자르기 문제(길이가 x일 때 K개를 만들 수 있는가?)
길이: 1 2 3 4 5 6 7 8
가능: T T T T F F F F
정보
두 경우 모두 FFFTTT 또는 TTTFFF 패턴을 보입니다. 이런 단조성이 있을 때 이진 탐색을 적용할 수 있습니다.
1.2 Off-by-one 에러 방지를 위한 구현 전략
- 단조성을 활용할 때는 다음과 같은 방식으로 구현하면 안전합니다
def binary_search(condition):
low = -1 # 항상 False를 가리킴
high = len(arr) # 항상 True를 가리킴
while low + 1 < high: # low와 high가 인접할 때까지 반복
mid = (low + high) // 2
if condition(mid):
high = mid # True면 high를 줄임
else:
low = mid # False면 low를 늘림
return high # 첫 번째 True의 위치
- 위 코드는 FFFTTT 단조성 패턴에 안전하게 대응할 수 있습니다.
1.2.1 주요 특징
- low와 high 사이에 항상 정답이 존재하도록 low와 high 초기화합니다.
low + 1 < high조건으로 종료 조건 명확히 설정합니다.- FFFTTT 패턴인 경우 low는 마지막 F, high는 첫 번째 T를 가리킵니다.
- low와 high가 인접하면 종료하고 문제에서 요구하는 값에 따라 low 또는 high 반환합니다.
2. Lower Bound와 Upper Bound
2.1 개념 이해하기
- 정렬된 배열에서 특정 값의 위치를 찾을 때, 같은 값이 여러 개 있다면 어떤 위치를 반환해야 할까요?
- 이런 경우를 위해 두 가지 특별한 이진 탐색 방법이 있습니다:
- Lower Bound: target 값이 처음 나타나는 위치 (가장 왼쪽)
- Upper Bound: target 값보다 큰 값이 처음 나타나는 위치
예시
index 0 1 2 3 4 5 6
arr = [1, 2, 2, 2, 3, 3, 4]
target = 2
- Lower Bound: index 1 위치를 반환
- Upper Bound: index 4 위치를 반환
2.2 Lower Bound
2.2.1 정의와 특징
- 정렬된 배열에서 특정 값 이상이 처음 나타나는 위치를 찾습니다
- 수식으로는
arr[i-1] < target ≤ arr[i]를 만족하는 가장 작은 i를 찾습니다 - 다시 말해,
arr[i] >= target을 만족하는 가장 작은 i를 찾습니다 - 배열의 모든 원소가 target보다 작다면 배열의 길이를 반환합니다
2.2.2 구현
index 0 1 2 3 4 5 6
arr = [1, 2, 2, 2, 3, 3, 4]
target = 2
각 위치에서 조건(arr[i] >= target)
index 0 1 2 3 4 5 6
결과: F T T T T T T
- 코드 구현에 앞서 FFFTTT 패턴을 확인합니다.
- 결정 문제:
arr[i] >= target
- 결정 문제:
- 최종 적으로 low는 마지막 F, high는 첫 번째 T를 가리킵니다.
- lower bound는
arr[i] >= target를 만족하는 가장 작은 i를 찾습니다.- 따라서 high를 반환합니다.
def lower_bound(arr, target):
low = -1 # arr[low] < target을 항상 만족
high = len(arr) # arr[high] >= target을 항상 만족
while low + 1 < high:
mid = (low + high) // 2
if arr[mid] >= target: # mid 위치의 값이 target 이상이면
high = mid # 더 앞쪽도 확인
else:
low = mid # 더 뒤쪽을 확인
return high
2.3 Upper Bound
2.3.1 정의와 특징
- 정렬된 배열에서 특정 값을 초과하는 첫 위치를 찾습니다
- 수식으로는
arr[i-1] <= target < arr[i]를 만족하는 가장 작은 i를 찾습니다 - 다시 말해,
arr[i] > target을 만족하는 가장 작은 i를 찾습니다 - 배열의 모든 원소가 target보다 작거나 같다면 배열의 길이를 반환합니다
2.3.2 구현
index 0 1 2 3 4 5 6
arr = [1, 2, 2, 2, 3, 3, 4]
target = 2
각 위치에서 조건(arr[i] > target)
index 0 1 2 3 4 5 6
결과: F F F F T T T
- 코드 구현에 앞서 FFFTTT 패턴을 확인합니다.
- 결정 문제:
arr[i] > target
- 결정 문제:
- 최종 적으로 low는 마지막 F, high는 첫 번째 T를 가리킵니다.
- upper bound는
arr[i] > target을 만족하는 가장 작은 i를 찾습니다.- 따라서 high를 반환합니다.
def upper_bound(arr, target):
low = -1 # arr[low] <= target을 항상 만족
high = len(arr) # arr[high] > target을 항상 만족
while low + 1 < high:
mid = (low + high) // 2
if arr[mid] > target: # mid 위치의 값이 target보다 크면
high = mid # 더 앞쪽도 확인
else:
low = mid # 더 뒤쪽을 확인
return high
2.4 활용: 특정 원소의 개수 구하기
- Lower Bound와 Upper Bound를 활용하면 정렬된 배열에서 특정 원소의 개수를 쉽게 구할 수 있습니다.
def count_element(arr, target):
return upper_bound(arr, target) - lower_bound(arr, target)
2.4.1 동작 원리
arr = [1, 2, 2, 2, 3, 3, 4]
target = 2
# lower_bound(arr, 2) = 1 (첫 번째 2의 위치)
# upper_bound(arr, 2) = 4 (첫 번째 3의 위치)
# 4 - 1 = 3 (2의 개수)
정보
이 방법의 시간 복잡도는 O(log n)으로, 배열을 순회하면서 세는 O(n) 방법보다 효율적입니다.
3. 파라메트릭 서치
- 파라메트릭 서치는 이진 탐색을 최적화 문제에 적용한 것입니다.
- 최적화 문제를 결정 문제로 바꾸어 단조성을 만들어냅니다.
3.1 기본 구조
def parametric_search(left, right):
low = left - 1 # 조건을 만족하지 않는 값
high = right + 1 # 조건을 만족하는 값
while low + 1 < high:
mid = (low + high) // 2
if decision(mid): # 결정 문제
high = mid # 더 작은 값도 가능한지 시도
else:
low = mid # 더 큰 값 시도
return high # 조건을 만족하는 최소값
3.2 실제 예제: 랜선 자르기
def can_make_cables(cables, target_count, length):
return sum(cable // length for cable in cables) >= target_count
def find_max_length(cables, target_count):
low = 0 # 가능한 길이
high = max(cables) + 1 # 불가능한 길이
while low + 1 < high:
mid = (low + high) // 2
if can_make_cables(cables, target_count, mid):
low = mid # 가능하면 더 큰 길이 시도
else:
high = mid # 불가능하면 더 작은 길이 시도
return low # 가능한 최대 길이
3.2.1 예시로 이해하기
cables = [8, 11, 13] # 가지고 있는 랜선의 길이
target = 5 # 만들어야 하는 랜선의 개수
# 길이별로 만들 수 있는 랜선의 개수:
# 길이 1: 8 + 11 + 13 = 32개 (가능)
# 길이 2: 4 + 5 + 6 = 15개 (가능)
# 길이 3: 2 + 3 + 4 = 9개 (가능)
# 길이 4: 2 + 2 + 3 = 7개 (가능)
# 길이 5: 1 + 2 + 2 = 5개 (가능)
# 길이 6: 1 + 1 + 2 = 4개 (불가능)
# 답: 5 (가능한 최대 길이)
4. 구현시 주의사항
4.1 단조성 확인
- 일반 이진 탐색: 정렬된 배열에서 자연스럽게 주어짐
- 파라메트릭 서치: 결정 문제 설계시 의도적으로 만들어야 함
4.2 초기값 설정
- low는 반드시 조건을 만족하지 않는 값으로(FFFTTT 패턴인 경우)
- high는 반드시 조건을 만족하는 값으로(FFFTTT 패턴인 경우)
- 이 불변식이 깨지면 알고리즘이 실패할 수 있음
4.3 답 선택하기
- FFFTTT 패턴: high가 첫 번째 True
- TTTFFF 패턴: low가 마지막 True
경고
배열 범위를 벗어나는 값(-1이나 len(arr))을 사용할 때는 조건 함수에서 적절히 처리해야 합니다.